1. Круговое движение трех тел одинаковой массы. Три тела одинаковой массы могут синхронно двигаться по общей круговой траектории, находясь на равных расстояниях друг от друга. Образованный телами равносторонний треугольник равномерно вращается вокруг своего центра подобно твердому телу, оставаясь вписанным в эту круговую траекторию. (Нажмите также здесь, чтобы наблюдать апплет.)

2. Неустойчивость кругового движения трех тел одинаковой массы. Круговое движение из предыдущего примера неустойчиво по отношению к сколь угодно малым возмущениям положений и скоростей тел, если эти возмущения нарушают симметрию системы. В данном примере начальная скорость одного из тел немного отличается от скорости, необходимой для кругового движения. Это крошечное нарушение симметрии через некоторое время приводит к искажению системы, нарастающему со временем. Движение системы остается обратимым до тех пор пока не происходит столкновений тел (пока действуют только силы тяготения между телами). (Нажмите также здесь, чтобы был виден апплет.)

3. Эллиптические движения трех тел одинаковой массы. Если начальные скорости трех одинаковых тел в равносторонней конфигурации имеют одинаковую величину, но отличающуюся от круговой скорости, тела синхронно описывают равные эллипсы, большие оси которых образуют одна с другой углы по 120 градусов. В этом случае образуемый телами равносторонний треугольник вращается вокруг своего центра неравномерно, и длины его сторон периодически изменяются со временем. (Нажмите также здесь, чтобы наблюдать апплет.)

5. Круговые движения трех тел в случае различных масс. Три тела с различными массами могут совершать синхронные движения по концентрическим круговым траекториям. В данном случае образуемый телами равносторонний треугольник равномерно вращается как целое вокруг центра масс системы. (Нажмите также здесь, чтобы был виден апплет.)

6. Неустойчивость круговых движений трех тел различной массы. Круговые движения трех тел различной массы также неустойчивы по отношению к сколь угодно малым возмущениям положений и скоростей тел. В данном примере начальная скорость одного из тел немного отличается по величине от скорости, необходимой для кругового движения. Это крошечное начальное возмущение через некоторое время приводит к прогрессивно нарастающему искажению системы. Движение системы остается обратимым до тех пор пока не происходит столкновений тел (т. е. пока между ними действуют только силы тяготения). (Нажмите также здесь, чтобы был виден апплет.)

7. Эллиптические движения трех тел в случае различных масс. Три тела в равносторонней конфигурации могут синхронно двигаться по геометрически подобным коническим сечениям. В данном случае образуемый телами равносторонний треугольник вращается вокруг центра масс системы неравномерно, и длины его сторон периодически изменяются со временем. (Нажмите также здесь, чтобы наблюдать апплет.)

9. Спутник в треугольной точке либрации системы двух массивных тел, совершающих круговые движения. В системе Земля - Луна принципиально возможно запустить стационарный спутник так, чтобы он постоянно находился в треугольной точке либрации (в вершине равностороннего треугольника, основание которого образует отрезок Земля - Луна). В примере моделируется гипотетическая система с отношением масс m/M = 0.12. (Нажмите также здесь, чтобы был виден апплет.)

В начало

Объяснение

Движение трех тел одинаковой массы в равносторонней конфигурации будет происходить по окружности лишь если начальные скорости всех тел направлены (в системе отсчета центра масс системы) перпендикулярно их радиусам-векторам. Более того, скорости тел должны быть одинаковы и иметь вполне определенное значение. Если же одинаковые по модулю начальные скорости не равны этому значению, и/или векторы скоростей не перпендикулярны радиусам-векторам (но для всех тел направлены под одним углом к радиусу-вектору), то тела будут двигаться синхронно по одинаковым эллипсам (в общем случае - по коническим сечениям), оси которых образуют углы в 120 градусов одна с другой. Щелкните здесь (и еще раз здесь, чтобы был виден апплет) для наблюдения примера такого движения.

Когда все тела имеют равные массы, как в предыдущих примерах, возможность их регулярного движения в равносторонней конфигурации легко примирить с нашей интуицией, апеллируя к симметрии системы. Однако равносторонняя конфигурация может сохраняться во время движения даже для тел различной массы. Это возможно потому, что в равносторонней конфигурации результирующая гравитационная сила, действующая на каждое из тел со стороны двух других тел, направлена к центру масс системы и обратно пропорциональна квадрату расстояния данного тела от центра масс. Другими словами, можно считать, что каждое из тел движется в некотором эффективном центральном гравитационном поле, источник которого расположен в неподвижном центре масс системы, несмотря на то, что это поле создается движущимися телами. Поэтому тела могут двигаться синхронно по трем геометрически подобным кеплеровым эллипсам (коническим сечениям) с общим фокусом в центре масс системы. Строгое доказательство можно найти в статье Е. И. Бутикова Regular Keplerian Motions in Classical Many-Body Systems, European Journal of Physics, v. 21, pp. 465 - 482, 2000. В частности, тела различной массы могут двигаться по концентрическим окружностям. Щелкните здесь (и еще раз здесь, чтобы был виден апплет) для наблюдения примера такого движения.

Щелкните здесь (и еще раз здесь, чтобы был виден апплет) для наблюдения примера движения трех разных тел по эллиптическим траекториям. Линейные размеры таких эллипсов обратно пропорциональны массам тел.

В начало

Eugene Butikov personal page | Обзор | Содержание | Предыдущий раздел | Следующий раздел