Гироскопом называют тело вращения (например, массивный диск), приведенное в быстрое вращение вокруг оси симметрии. Первое знакомство с гироскопом обычно происходит в раннем детстве при наблюдении за необычным поведением известной игрушки – детского волчка или юлы. Пока волчок быстро вращается, он может устойчиво стоять на остром конце своей оси, сохраняя вертикальное положение оси и не падая на горизонтальную плоскость, хотя центр тяжести волчка расположен выше точки опоры. Чтобы наблюдать такое поведение волчка, нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было лучше видно окно апплета.)

Приостанавливать и возобновлять моделирование, а также изменять параметры можно с помощью панели управления, расположенной слева от окна с изображением гироскопа. Изображение в окне можно поворачивать вокруг вертикальной и горизонтальной осей: для выбора наиболее удобной точки зрения просто поместите указатель мыши в окно и перемещайте его («перетаскивайте») при нажатой левой кнопке.

Если ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то под действием силы тяжести ось описывает в пространстве вертикальный круговой конус, так что угол наклона оси остается неизменным. Такое движение волчка называют вынужденной прецессией. Для наблюдения вынужденной регулярной прецессии нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было лучше видно окно апплета.) Чтобы получить представление о том, как при регулярной прецессии движутся точки волчка, не лежащие на его оси, программа строит также траекторию конца стрелочки, «воткнутой» в тело волчка. Конец стрелки находится на таком же удалении от точки опоры, как и конец оси волчка, поэтому их траектории лежат на поверхности одной и той же сферы с центром в точке опоры. Если стрелочка мешает Вам наблюдать поведение волчка, можно снять «галочку» в боксе «Траектория точки» на панели управления.

Необычное на первый взгляд поведение гироскопа объясняется законом изменения момента импульса под действием внешних сил. Согласно этому закону, скорость изменения момента импульса L (называемого иначе угловым моментом) любого тела относительно некоторой точки равна суммарному моменту N действующих на тело внешних сил: dL/dt = N. Когда волчок вращается вокруг собственной оси, вектор момента импульса L тоже направлен вдоль этой оси.

Наклоненный к вертикали волчок прецессирует, т.е. помимо вращения вокруг собственной оси поворачивается еще и вокруг вертикальной оси. При быстром собственном вращении эта прецессия (поворот вокруг вертикальной оси) происходит настолько медленно, что с хорошей точностью можно пренебречь той составляющей момента импульса, которая обусловлена прецессией вокруг вертикали. Иными словами, приближенно можно считать, что вектор полного момента импульса L и в этом случае направлен вдоль оси волчка. Именно такой быстро вращающийся вокруг собственной оси волчок называют гироскопом. В приближенной теории гироскопа предполагается, что вектор L все время направлен вдоль собственной оси волчка. Поэтому поведение вектора L говорит о том, как ведет себя в пространстве ось гироскопа.

Момент N силы тяжести в каждый момент времени направлен горизонтально и перпендикулярен вектору L. Поэтому сила тяжести может изменить только направление L, но не его длину, т.е. вызвать поворот вектора L, а вместе с ним и поворот оси волчка вокруг вертикали. Движение конца оси гироскопа происходит в направлении момента N силы тяжести, а не в направлении самой силы тяжести. Этим и объясняется «необычное» поведение гироскопа. Вектор L и вместе с ним ось волчка равномерно поворачиваются (совершают прецессию) вокруг вертикали, проходящей через точку опоры.

Вектор угловой скорости прецессии при вращении гироскопа против часовой стрелки направлен противоположно вектору g, т.е. прецессия происходит тоже против часовой стрелки. Величина угловой скорости прецессии обратно пропорциональна угловой скорости собственного вращения и прямо пропорциональна расстоянию от точки опоры до центра тяжести. Она не зависит от угла наклона оси волчка к вертикали.

Регулярная прецессия будет происходить только при строго определенных начальных условиях: чтобы получить такое движение, нужно раскрутить волчок вокруг собственной оси и сообщить этой оси вращение вокруг вертикали с такой угловой скоростью, с которой должна происходить дальнейшая прецессия волчка. В определенном смысле можно сказать, что сила тяжести, стремящаяся опрокинуть волчок, фактически не вызывает, а лишь поддерживает регулярную прецессию.

В общем случае (при произвольных начальных условиях) движение волчка представляет собой суперпозицию вынужденной регулярной прецессии и нутации. Нутация возникает из-за того, что вектор момента импульса, обусловленный собственным вращением, может немного отклоняться от направления оси волчка. Если на время забыть о силе тяжести, то волчок будет совершать свободное вращение. Такое «вращение по инерции» подробно рассмотрено в разделе «Свободное вращение симметричного волчка» и в статье «Свободное вращение твердого тела». Там показано, что при несовпадении направления момента импульса с осью симметрии волчка движение волчка можно представить как результат сложения двух вращений: вращения вокруг собственной оси (сохраняющей неизменное направление в теле волчка) и одновременного вращения этой оси вокруг неизменного в пространстве направления вектора момента импульса L. Ось волчка при этом описывает круговой конус (с малым углом раствора) вокруг направления вектора L. Такое равномерное движение оси волчка по конусу в отсутствие внешних сил представляет собой свободную прецессию. Применительно к гироскопу ее принято называть нутацией. Подробнее о причинах и характере нутации можно прочитать в статье «Прецессия и нутация гироскопа».

Для наблюдения моделирования вынужденной регулярной прецессии вместе с нутацией, которая будет происходить при отпускании оси гироскопа, нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы на экране было видно окно апплета.)

Отпущенная ось волчка одновременно совершает два движения: по вертикальному конусу вынужденной прецессии и по конусу нутации вокруг вектора момента импульса, обусловленного собственным вращением волчка. Оба движения начинаются в момент отпускания оси – до того волчок просто вращался вокруг неподвижной оси. Сложение этих движений дает для верхнего конца оси траекторию, напоминающую циклоиду, т.е. кривую, которую рисует точка на ободе колеса, катящегося без проскальзывания. Соседние «арки» такой траектории образуют острый «клюв» в точках, где они примыкают одна к другой, имея общую касательную. Моделирующая программа строит траекторию конца оси (желтая линия) именно для таких начальных условий. Красная окружность показывает траекторию конца вектора собственного момента импульса.

При иных начальных условиях траектория верхнего конца оси гироскопа может иметь другой вид – волнообразный (синусообразный), если начальная скорость оси направлена в сторону прецессии, и петлеобразный, если начальная скорость направлена противоположно вынужденной прецессии. Чтобы наблюдать нутации с волнообразным движением оси, нажмите здесь. Для моделирования петлеобразных движений оси волчка нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы на экране было видно окно апплета.)

Когда нутации малы (когда конус нутации очень узок), вынужденную прецессию называют псевдорегулярной. Для быстро вращающихся гироскопов, применяемых в технике, псевдорегулярная прецессия практически не отличается от регулярной. В таких случаях нутация проявляет себя как едва заметное мелкое и частое дрожание оси гироскопа. Кроме того, мелкомасштабные нутации быстро затухают под действием сил трения, и псевдорегулярная прецессия переходит в регулярную.

Для наблюдения постепенного перехода псевдорегулярной прецессии в регулярную под действием трения, нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы на экране было видно окно апплета.) При моделировании можно отчетливо видеть, как изломы траектории конца оси (желтая линия) разглаживаются, и она постепенно приближается к окружности, соответствующей установившейся вынужденной прецессии.

Более подробное теоретическое описание вынужденной прецессии можно найти в статье «Прецессия и нутация гироскопа».

Управление программой.
Программа позволяет изменять параметры моделируемой системы и условия наблюдения. Для удобства наблюдения изображение в окне можно поворачивать вокруг вертикальной и горизонтальной осей – вращать куб, в центре которого находится волчок. Этим достигается возможность смотреть на изображение трехмерных объектов с разных точек, например, сбоку, сверху или снизу. Для изменения точки зрения нужно привести указатель мыши в пределы окна, нажать левую кнопку и, не отпуская ее, перемещать («перетаскивать») указатель в ту или иную сторону, добиваясь наиболее удобного для наблюдения расположения осей координат и объектов на экране. Если при этом одновременно удерживать нажатой кнопку «Control» на клавиатуре, то мышью можно сдвигать изображение в желаемом направлении. Если же удерживать нажатой кнопку «Shift», то при перемещении указателя мыши будет изменяться масштаб изображения – предметы будут приближаться либо удаляться от наблюдателя.

Вращение волчка можно отображать в удобном для наблюдения масштабе времени. Изменение временного масштаба достигается введением задержки, которую можно изменять с помощью движка в нижней части панели управления. Назначение других органов управления на этой панели интуитивно понятно. Самая верхняя кнопка служит для пуска и приостановки моделирования. Вторая кнопка позволяет выполнять моделирование пошагово. Третья кнопка восстанавливает начальные условия, а четвертая – задаваемые по умолчанию значения параметров.

При первом знакомстве с программой можно не утруждать себя вводом параметров, а ограничиться выбором заранее заготовленных примеров из предлагаемого списка. Этот список можно открыть, поставив «галочку» в соответствующем боксе на панели управления. Для детального изучения вынужденной прецессии следует проделать моделирование при разных значениях параметров. Изменять параметры можно перемещением движков на панели управления, либо вводя нужные значения с клавиатуры. Предварительно нужно приостановить моделирование кнопкой «Пуск/Пауза». При вводе какого-либо параметра с клавиатуры поле ввода становится ярко желтым. Завершать ввод нужно нажатием клавиши «Enter», при этом поле ввода принимает прежний цвет.

Инертные свойства гироскопа определяются продольным и поперечным моментами инерции относительно осей, проходящих через точку опоры. В программе момент инерции относительно продольной оси зафиксирован, а момент инерции относительно поперечной оси можно изменять перемещением диска, т.е. изменением расстояния от точки опоры до центра масс (параметр «Высота диска»). С увеличением высоты диска возрастает угловая скорость вынужденной прецессии и увеличивается отношение периода нутаций к периоду собственного вращения гироскопа. Программа допускает изменение значений расстояния от точки опоры до центра масс в пределах от 0,5 до 1,25 (в относительных единицах).

Еще один параметр, который можно изменять в программе – это наклон оси гироскопа, т.е. угол, который ось волчка образует с вертикалью. На панели управления он обозначен как «Наклон». Значение угла наклона нужно вводить в градусах. Допустимые значения лежат в интервале от 0 до 120 градусов. Величину угловой скорости собственного вращения гироскопа можно изменять в пределах от 4,0 до 20,0 (в относительных единицах, параметр «Скорость вращения»). Чтобы программа отображала влияние трения на поведение гироскопа, нужно поставить «флажок» в боксе «Трение».

Как уже было сказано выше, программа моделирует поведение гироскопа для начальных условий, соответствующих освобождению оси с нулевой начальной скоростью. При этом неизбежно возникает нутация. Но если поставить «флажок» в боксе «Без нутации», то будут заданы начальные условия, при которых сразу будет происходить регулярная прецессия без нутации.

Чтобы включить построение траектории какой-либо точки волчка, нужно выбрать положение этой точки относительно оси волчка (ввести в градусах значение параметра «Угл. положение») и поставить «флажок» в боксе «Траектория точки». Если снять «флажок» в самом нижнем боксе панели управления, можно сделать светлым фон окна, в котором программа отображает движение гироскопа.

Последнее обновление – 20 февраля 2006 г.

Author's home page