На этой странице с помощью небольшой моделирующей программы (Java-апплета) можно наблюдать свободное вращение («вращение по инерции», или «инерционное вращением») кругового цилиндра из однородного материала. Цилиндр представляет собой частный случай симметричного волчка, т.е. тела, у которого два из трех главных центральных моментов инерции равны. Свободное вращение симметричного волчка представляет собой регулярную прецессию. С кинематическими и динамическими закономерностями свободного вращения симметричного волчка в общем случае можно познакомиться на странице «Свободная прецессия симметричного волчка». Подробное теоретическое описание свободной прецессии симметричного волчка можно найти в статье «Свободное вращение твердого тела».
Приостанавливать и возобновлять моделирование, а также изменять параметры можно с помощью панели управления, расположенной слева от окна с изображением тела. Изображение в окне можно поворачивать вокруг вертикальной и горизонтальной осей: для выбора наиболее удобной точки зрения просто поместите указатель мыши в окно и перемещайте его («перетаскивайте») при нажатой левой кнопке.
В каждый момент времени вектор угловой скорости (желтая стрелка на черном фоне) показывает направление оси вращения тела в пространстве. Поэтому множество мгновенных осей вращения в разные моменты времени образует в пространстве круговой конус с вершиной в центре масс тела и осью, направленной вдоль L (вертикально на экране). Такой конус называют неподвижным аксоидом (см. правую часть окна апплета).
Представим себе еще один круговой конус, на этот раз жестко связанный с телом. Вершина этого конуса также находится в центре масс, а его ось направлена вдоль оси симметрии тела. Мгновенная ось вращения в любой момент времени совпадает с одной из образующих этого связанного с телом конуса, а вся его боковая поверхность показывает, как расположена мгновенная ось вращения в разные моменты времени в самом теле, т.е. дает положение всего множества мгновенных осей вращения относительно тела. По этой причине такой мысленно связанный с движущимся телом круговой конус называют подвижным аксоидом.
Подвижный и неподвижный конусы соприкасаются своими боковыми поверхностями (наружными для вытянутого цилиндра) вдоль мгновенной оси вращения. Скорости всех точек тела, лежащих в данный момент на мгновенной оси вращения, равны нулю. Это значит, что поведение мысленно связанного с телом подвижного аксоида представляет собой качение без проскальзывания по поверхности неподвижного аксоида. Такую наглядную геометрическую интерпретацию свободной прецессии дает правая часть окна апплета. (Нажмите здесь, чтобы было видно окно апплета.)
Наглядному геометрическому представлению кинематики свободного вращения симметричного волчка в виде качения без проскальзывания подвижного аксоида по поверхности неподвижного можно сопоставить разложение вектора мгновенной угловой скорости на сумму двух составляющих. Одна из них соответствует вращению тела вокруг собственной оси симметрии. Направление этого вектора неизменно в самом теле, а в пространстве он совершает прецессию, описывая вместе с осью тела круговой конус. Направление второго слагаемого неизменно в пространстве. Оно соответствует прецессии оси симметрии тела вокруг вектора момента импульса L, сохраняющего свое направление (вертикальное на экране).
Точки тела, лежащие на оси симметрии, описывают окружности, центры которых находятся на оси неподвижного аксоида. Движение точек тела, не лежащих на оси симметрии, можно представить как сложение двух движений, а именно, вращения тела вокруг собственной оси с одновременным движением этой оси по конусу прецессии.
Чтобы представить себе, по каким траекториям движутся при этом отдельные точки тела, можно поставить «флажок» в боксе «Траектория точки» на панели управления и задать положение этой точки, указав угол, на который отклоняется от оси симметрии волчка вектор, направленный в эту точку из центра масс. Для наглядности программа строит траекторию точки, находящейся на конце воображаемой тонкой стрелки, выходящей из центра масс за пределы самого тела. Можно представлять себе эту стрелку как жестко связанную с телом («воткнутую» в него). Все точки этой стрелки описывают геометрически подобные траектории.
Траектория конца стрелки крупнее всех остальных, что позволяет наблюдать характерные особенности таких траекй в более крупном масштабе. Чтобы получить представление о траектории точки, которая находится на поверхности подвижного аксоида (в начальный момент лежит на мгновенной оси вращения), нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было видно окно апплета.)
Задание для самостоятельной работы. Геометрическая интерпретация свободного вращения симметричного волчка применима и к частному случаю равенства продольного и поперечного моментов инерции, т.е. к случаю шарового волчка – тела, у которого все три главных центральных момента инерции равны. Так как у шарового волчка вектор угловой скорости и направленная вдоль него мгновенная ось вращения сохраняют свое направление в пространстве (не прецессируют), то конус неподвижного аксоида вырождается в полупрямую, направленную вдоль вектора момента импульса L (вертикально на экране). Качение подвижного аксоида, жестко связанного с телом, по выродившемуся в прямую неподвижному аксоиду сводится к равномерному вращению подвижного конуса вокруг своей образующей. Эта образующая совпадает по направлению с вектором момента импульса L и неизменным вектором угловой скорости ω. Любая точка шарового волчка (например, конец стрелки, жестко связанной с телом) описывает окружность с центром на оси вращения. Для наблюдения свободного вращения цилиндра, представляющего собой шаровой волчек, нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было видно окно апплета.)
В случае симметричного волчка сплющенной формы (короткий цилиндр, диск) геометрическая интерпретация свободного вращения не столь очевидна. Связанный с телом подвижный аксоид соприкасается с неподвижным аксоидом своей внутренней поверхностью. Поэтому при прецессии оси тела против часовой стрелки, когда подвижный аксоид катится своей внутренней поверхностью по охватываемому им неподвижному аксоиду, собственное вращение тела происходит в противоположную сторону, т.е. по часовой стрелке. Такому поведению соответствует разложение вектора мгновенной угловой скорости (желтая стрелка на экране) на компоненты, соответствующие прецессии и вращению вокруг собственной оси (красные стрелки). Видно, что для сплющенного тела вектор угловой скорости собственного вращения направлен под тупым углом к вектору угловой скорости прецессии. Чтобы наблюдать иллюстрацию такого поведения в компьютерной программе, нажмите здесь. (Нажмите также здесь, чтобы было видно окно апплета.)
Другой пример симметричного волчка --- прямая призма из однородного материала, основание которой представляет собой правильный многоугольник. Ниже Вы можете видеть апплет, который моделирует свободное вращение призмы с квадратным основанием.
Когда высота h (длина) призмы равна стороне квадрата основания a, призма превращается в куб. Для куба три главных центральных момента инерции совпадают. Это значит, что куб динамически эквивалентен шаровому волчку. При любом направлении угловой скорости вектор момента импульса имеет то же самое направление. Поэтому свободное вращение куба происходит очень просто: куб всегда равномерно вращается вокруг оси, направление которой в пространстве неизменно. Попробуйте проверить это с помощью моделирущего эксперимента при h = a для различных направлений угловой скорости.
Управление программой.
Еще один параметр, который можно изменять в программе – это угол между направлением вектора угловой скорости и осью цилиндра. На панели управления он обозначен как «Наклон». Значение угла наклона нужно вводить в градусах. Допустимые значения лежат в интервале от 0 до 90 градусов. Величину угловой скорости можно изменять в пределах от 0,5 до 10 (в относительных единицах). Изменение этого параметра сказывается на быстроте вращения тела, но не изменяет качественно характера его движения. О том, как можно включить построение траектории какой-либо точки волчка, совершающего свободное вращение, и как выбрать положение этой точки относительно оси волчка, уже было сказано выше. Сняв «флажок» в самом нижнем боксе панели управления, можно сделать светлым фон окна, в котором программа отображает движение тела и его геометрическую интерпретацию в виде качения подвижного конуса по поверхности неподвижного.
Более подробное теоретическое описание свободной прецессии симметричного волчка можно найти в статье «Свободное вращение твердого тела».
Последнее обновление – 20 июня 2012 г.
Author's home page
СВОБОДНОЕ ВРАЩЕНИЕ ОДНОРОДНОГО ЦИЛИНДРА (СИММЕТРИЧНОГО ВОЛЧКА)
Учебные материалы по физике
Инертные свойства симметричного волчка при вращении определяются продольным и поперечным моментами инерции. Для моделирования существенны не сами по себе значения этих моментов, а только их отношение. Отношение момента инерции относительно поперечной оси к продольному опрелеляется отношением высоты цилиндра к его радиусу, которое в программе можно изменять.
В начало Author's home page
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ФИЗИКЕ